Эсамбаев родился 15 июля 1924 года в чеченском селе Старые Атаги, расположенном около реки Аргун. Он вспоминал, что не знал точной даты своего рождения: "Это случилось, когда собирали кукурузу". Махмуд - младший ребенок в большой семье: у него были три брата и сестра. Танцевать он любил с самого раннего детства. С трех лет выступал на свадьбах.
"К моему отцу приходили и говорили: дай нам Махмуда на празднование! Он говорил - берите! Отпускал меня, маленького, проще, чем отдавал взаймы свой топор. Я тогда очень отца к этому топору ревновал, считал, что меня любят меньше. Тогда не было ни одной свадьбы в окрестностях, где бы я не выступал. Местные жители говорили: "Ну как свадьба? Махмуд танцевал? Да? Значит богатая свадьба была!". Я был "свадебной этикеткой", - рассказывал Эсамбаев.
По словам артиста, чеченцы и ингуши - танцующий народ, но о том, чтобы зарабатывать таким образом деньги, и речи не было. Когда мальчику было 8 лет, семейство Эсамбаевых переехало в Грозный. Тогда Махмуд впервые увидел электрическую лампочку и услышал радио: "Я схватил маму за руку и кричал, что это черти, нам надо отсюда срочно уехать". Отец мечтал, чтобы мальчик выучил русский язык и стал судьей. Махмуда отдали в школу.
Эсамбаев вспоминал, что одноклассники прозвали его "внуком Робинзона Крузо" - из-за того, что он ходил в оборванной одежде. "Я не понимал, кто это такой, но мне нравилось. А учительница называла меня чучмеком, тыквой, шакаленком, жаловалась, что посадили меня на ее шею, делала замечания. Тогда я говорил "шо, айдате, бисиком", она постоянно меня поправляла, била линейкой по голове. Но горские дети от такого наказания не плачут", - говорил танцор.
Отец категорически запретил Махмуду танцевать, и даже пригрозил его убить за это: "На одного будет меньше!". Мальчик продержался полгода и не выдержал - станцевал в школе. Его вызвали к директору и попросили выступить на олимпиаде, где он занял первое место. "Никогда, даже когда я уже стал знаменитым артистом, я не получал таких оваций и признания. Меня обнимали и целовали, кормили конфетами и пирожными. Я тогда думал: ну точно буду танцевать, раз дают столько вкусного!", - рассказывал артист.
В шестом классе Эсамбаева исключили из школы за неуспеваемость. Он принес справку об отчислении отцу, который не знал русского, и соврал: "Мне сказали, что я все выучил, газеты читать умею, больше можно не приходить". Талантливого мальчика приняли в Грозненское хореографическое училище, параллельно он стал солистом Чечено-Ингушского ансамбля песни и пляски.
Артист балета Махмуд ЭсамбаевСвою первую зарплату - 300 рублей 40 копеек - он полностью отдал отцу. Тот не поверил, что сыну столько заплатили за танцы и даже сходил с ним к бухгалтеру, чтобы лично в этом удостовериться. Махмуд же уже тогда был уверен, что станет великим танцором, его будет знать весь мир.
С самого начала войны Эсамбаев выступал в составе фронтовых бригад - на передовых, в госпиталях. Однажды осколок снаряда, разорвавшегося около сцены, попал ему в ногу. Врачи говорили, что он больше не сможет танцевать, но Махмуд даже не хотел об этом слышать. Он восстановился; в 1943 году (тогда на его счету было более 360 концертов на фронте) начал работать в Пятигорском театре музыкальной комедии, куда его пригласили премьером.
В 1944 году чеченцев и ингушей депортировали, по распоряжению Сталина, в Среднюю Азию. Эсамбаеву, который уже тогда был яркой звездой, предложили "спрятаться" за новые документы: по паспорту он мог стать армянином. Но артист не согласился и вместе с родителями отправился в Киргизию. Во Фрунзе (ныне Бишкек) он стал солистом Киргизского театра оперы и балета, блистал в главных партиях. "Это была моя лучшая труппа в жизни", - признавался Махмуд.
В конце 50-х он вернулся в Чечню, дал несколько выступлений в Грозном, на которые позвал свою учительницу: "Я пошел в дом, где она жила. Вышла старенькая, худенькая - а она раньше была дамой в теле, - седая, в толстых очках, перевязанных веревкой... Я сказал: помните меня? Она ответила, что не помнит. Я продолжил - хуже меня не было в школе, я говорил, что стану знаменитым танцором! Она всплеснула руками: Эсамбаев! Я знала, что так и будет, и ты станешь таким, просто очень хотела, чтобы ты хотя бы что-то выучил… Мне тогда стало очень стыдно, что я так долго на нее злился. Пригласил ее на концерт, она все выступление проплакала".
Популярность Эсамбаева росла: после гастролей в Москве, вместе с труппой "Звезды советского балета" он побывал в Южной Америке и Франции. А вернувшись, собрал свой коллектив и создал первую сольную танцевальную программу в СССР "Танцы народов мира".
Артист изучал культуру и языки, постарался, как он говорил, передать душу каждого народа. Его самый яркий и известный танец из этой программы - девятиминутный "Золотой бог", сложнейший индийский танец. Этот номер Эсамбаев выучил в рекордно короткий срок - всего за 20 дней.
В 1961 году артист снялся в своей первой картине "В мире танца" (он выступил еще и как автор сценария). После был биографический фильм "Я буду танцевать", экранизация "Лебединого озера", "Земля Санникова" (Эсамбаев исполнил роль черного шамана - рассказывают, что режиссер искал танцора, который двигался бы как иноплатетянин), сказки "Честное волшебное" и "Пока бьют часы" и другие. Пресса писала, что о параметрах артиста - росте 182 сантиметра, весе 65 килограмм и осиной талии 47 сантиметров - мечтали все французские модели.
"Бог танца" был настолько популярен и уважаем в СССР, что стал единственным жителем страны, которому разрешили сфотографироваться на паспорт в папахе. В этом головном уборе Эсамбаев был везде. Когда его спрашивали, что он под папахой скрывает, он шутил: "Лысину".
В 1995 году изображение Махмуда Эсамбаева нанесли на новую банкноту в три чеченских нахара. В оборот эти деньги не пошли - их выпустили ограниченной партией, которая разошлась по коллекционерам.
У Эсамбаева было много поклонниц, но он был счастливо женат на армянке, враче Нине Колумянц, с которой познакомился в 17 лет, в 1945 году. У них родилась дочь Стелла: она пошла по стопам мамы и тоже стала медиком. Последние 35 лет жизни артист был народным депутатом, помогал строить культурные объекты в родной Чечне и других республиках.
Во время чеченского конфликта у Эсамбаевых сгорела квартира в Грозном - вместе с его наградами и сценическими костюмами. Семья обосновалась в Москве. Происшествие подорвало здоровье артиста: у него случился инсульт, а после обнаружили онкозаболевание. Он скончался в 75 лет, 7 января 2000 года. По завещанию его похоронили на Даниловском мусульманском кладбище.
В одном из интервью, на вопрос, хотелось бы что-то поменять в своей жизни, Эсамбаев ответил: "Все, что было - горе, счастье, несчастье, все повторил бы заново".